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高维随机向量：最小夹角 / 最大点乘→
在 N 维单位球面上均匀随机取 K 个向量，考察两两点乘的最大值（即最小夹角的余弦）。 蒙特卡洛模拟与 Cai–Fan–Jiang (2013) 理论曲线对照，直观感受"高维空间中随机向量近乎正交"。
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随机矩阵的奇异值谱：MP 律与 Fuss-Catalan→
高斯矩阵 A 的奇异值谱（Marchenko-Pastur 律）与乘积谱的理论曲线对比： AᵀB（D×D 摆法）为 MP_c ⊠ MP_c（c=1 即 Fuss-Catalan FC₂，支撑 [0, 27/4]）， AB（H×H 摆法）÷c 为 MP_c ⊠ MP_1——同一对矩阵，乘法维度不同曲线也不同。 只依赖比值 c = H/D，是 QK 谱分析的初始化随机基线。
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双随机投影的点积分布：Variance-Gamma 与夹角的遗忘→
向量 A、B（cos 夹角 ρ 精确受控）经独立高斯矩阵 Ma、Mb 投影后的点积 s = (Ma A)·(Mb B)：固定向量随机矩阵时服从对称 Variance-Gamma（Bessel-K）分布， 且与 ρ 严格无关（双各向同性遗忘夹角）；固定矩阵随机向量时均值偏移 ρ·trM/D 由矩阵实例决定——QK score 分布的初始化基线，谱研究的标量姊妹篇。
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随机投影链的长度平方分布：卡方、乘积卡方与深度对数正态→
单位向量经高斯矩阵链投影后的长度平方 s = ‖B···BA X‖²：L=1 为卡方（伽马）、 L=2 为 Bessel-K₀ 乘积伽马（精确闭式）、深链趋近对数正态——均值恒为 c = H/D （fan-in 保值），中位数却 ≈ c·e^(−L/H) 随深度萎缩：LayerNorm 的随机矩阵注脚。 quenched 对照展示长度统计的 self-averaging。
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噪音向量的基本运算：加、数乘、点积→
标准正态噪音经历逐元素加、数乘、按元素乘、平方与点积后的分布变化： 精确理论密度（正态 / 乘积正态 Bessel-K / 卡方）与蒙特卡洛直方图对照， 并对比双方随机 / 一方固定两种点积，检验"σ²=1/D 时点积方差是否为 1"。